片持ち梁の振動応力

Question

下略図のような片持ち梁に上下振動を掛けた場合の荷重を
教えて下さい。
　｜
　｜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝●　　　　●：重り
　｜　　　　　　　　　　　　　　　＝：梁

材質：SUS304
　梁形状　長さ：100mm　径：Φ2mm
　重り：5ｇ
　振動加速度：2G
　振動周波数：固有振動数以外の領域
　
出来れば、固有振動数とその時の荷重も教えて頂けると
幸いです。色々と調べてところ、静荷重のたわみは有るのですが
振動系の良いヒントが無く困っています。宜しくお願いします。

Answer

非常に簡単なモデルで、大学の力学の課題の様に思えるのですが、学生さんではないですよね？(学生なら再度自分で考えて下さい)　上下運動させるとのことですが、その上下運動の具体的は周波数はいくらかのでしょうか？　固有振動数以外の領域と書いていますが、それは雲をつかむような膨大な組み合わせがあると思います。
そもそも、貴殿は固有振動数は1つだと考えていませんか？　構造物には固有振動モードというものが存在します。これは理論的には無限にあります。
恐らく、貴殿の言う固有振動数とはその1次曲げモードを言っているのでは？

また、固有振動数とその時の荷重とのことですが、固有振動数とは上記の通り構造物固有のものであり、荷重を掛けなくても存在します。荷重の絶対値に関係するのではなく、上下運動の加振周波数に依存します。これが固有振動数であれば、梁のたわみは急激に大きくなります。少なくとも上記条件であれば、強制振動になります。

ρA(∂^2・Y/∂t^2) + EI(∂^4・Y/∂x^4) = F(x,t)

ρ：密度
A：梁の断面積
E：ヤング率
I：断面2次モーメント
Y：たわみ
F：強制荷重

を頑張って解析してみて下さい。恐らくネットで検索すれば、答えが載っていると思います。F(x,t)=0として解析した場合、固有振動数が得られます。そして、基本モードの整数倍で固有値が計算されるはずです。

あと荷重ですが、実際は振動方向が切り替わる場合は慣性力が発生するため、少しややこしいと思いますが、一度上記強制荷重をmα・sinωt(m:質量、α：加速度、ω：加振角周波数)で考えれば如何でしょうか？

たぶん、検索の仕方によっては、もっと有益な情報が得られると思いますよ。

SUS304のヤング率Eを190[GPa]と仮定した場合、小生の計算では、上記モデルでの固有振動数fは47.6[Hz]となりましたので、貴殿の上記目的がある程度把握できたように思います。

上記モデルを減衰考慮の1自由度系モデルと仮定した場合、

m(d^2・Y/dt^2)+c(dY/dt)+k・Y = fsinωt ・・・(1)

Y：たわみ
m：おもり質量
c：減衰係数
k：バネ定数(=3EI/(L^3))
f：強制荷重
ω：加振角周波数

が成立します。これを解き、貴殿が欲しい梁荷重P、つまり(1)式の左辺第3項に代入すると、荷重振幅のみを考えた場合、

P / f = ωn^2 / √{(ωn^2-ω^2)^2 + (2ζωn・ω)^2} ・・・(2)

ωn：固有角周波数
ζ：減衰比 (=c/{2√(mk)})

と計算されます。もし減衰を考慮しないならば、ζ=0です。
回答にも書きましたが、f=mαとすれば、固有振動数を含めた上記条件での荷重計算ができると考えます。

片持ち梁の振動応力と荷重について