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片持ち梁の振動応力

開発 設計 材料・素材 > 金属
下略図のような片持ち梁に上下振動を掛けた場合の荷重を
教えて下さい。
 |
 |==========●    ●:重り
 |               =:梁

 材質:SUS304
 梁形状 長さ:100mm 径:Φ2mm
 重り:5g
 振動加速度:2G
 振動周波数:固有振動数以外の領域
 
出来れば、固有振動数とその時の荷重も教えて頂けると
幸いです。色々と調べてところ、静荷重のたわみは有るのですが
振動系の良いヒントが無く困っています。宜しくお願いします。

 
versaさん 2006-01-07 17:08

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回答(1) [アドバイス] [自信あり]

非常に簡単なモデルで、大学の力学の課題の様に思えるのですが、学生さんではないですよね?(学生なら再度自分で考えて下さい) 上下運動させるとのことですが、その上下運動の具体的は周波数はいくらかのでしょうか? 固有振動数以外の領域と書いていますが、それは雲をつかむような膨大な組み合わせがあると思います。
そもそも、貴殿は固有振動数は1つだと考えていませんか? 構造物には固有振動モードというものが存在します。これは理論的には無限にあります。
恐らく、貴殿の言う固有振動数とはその1次曲げモードを言っているのでは?

また、固有振動数とその時の荷重とのことですが、固有振動数とは上記の通り構造物固有のものであり、荷重を掛けなくても存在します。荷重の絶対値に関係するのではなく、上下運動の加振周波数に依存します。これが固有振動数であれば、梁のたわみは急激に大きくなります。少なくとも上記条件であれば、強制振動になります。

ρA(∂^2・Y/∂t^2) + EI(∂^4・Y/∂x^4) = F(x,t)

ρ:密度
A:梁の断面積
E:ヤング率
I:断面2次モーメント
Y:たわみ
F:強制荷重

を頑張って解析してみて下さい。恐らくネットで検索すれば、答えが載っていると思います。F(x,t)=0として解析した場合、固有振動数が得られます。そして、基本モードの整数倍で固有値が計算されるはずです。

あと荷重ですが、実際は振動方向が切り替わる場合は慣性力が発生するため、少しややこしいと思いますが、一度上記強制荷重をmα・sinωt(m:質量、α:加速度、ω:加振角周波数)で考えれば如何でしょうか? 

たぶん、検索の仕方によっては、もっと有益な情報が得られると思いますよ。

minaさん 2006-01-07 20:43

●質問者からのお礼

丁寧なご回答を頂き、ありがとうございました。お察しの通り、
私は現役学生では有りません。(電気科卒の社会人です)

今回私が質問させて頂いた目的は、『20~200Hzの周波数で製品
(片持ち梁モデル)を上下加振しても、梁が破損しないか』の検証でした。
恐らくこの周波数域には共進点(1点)が存在し、共進点と共進点以外では
撓み量が異なる為、それぞれの荷重を算出したいと考えていました。

固有振振動数での振動中の、荷重は何とか分かりそうですが、
固有振動数以外(例えば200Hz)での荷重計算は、どう考えれば
良いでしょうか?良い検索先を教えて頂けると幸いです。
versaさん 2006-01-09 20:49

▼回答者からの追記

SUS304のヤング率Eを190[GPa]と仮定した場合、小生の計算では、上記モデルでの固有振動数fは47.6[Hz]となりましたので、貴殿の上記目的がある程度把握できたように思います。

上記モデルを減衰考慮の1自由度系モデルと仮定した場合、

m(d^2・Y/dt^2)+c(dY/dt)+k・Y = fsinωt ・・・(1)

Y:たわみ
m:おもり質量
c:減衰係数
k:バネ定数(=3EI/(L^3))
f:強制荷重
ω:加振角周波数

が成立します。これを解き、貴殿が欲しい梁荷重P、つまり(1)式の左辺第3項に代入すると、荷重振幅のみを考えた場合、

P / f = ωn^2 / √{(ωn^2-ω^2)^2 + (2ζωn・ω)^2} ・・・(2)

ωn:固有角周波数
ζ:減衰比 (=c/{2√(mk)})

と計算されます。もし減衰を考慮しないならば、ζ=0です。
回答にも書きましたが、f=mαとすれば、固有振動数を含めた上記条件での荷重計算ができると考えます。



minaさん 2006-01-09 23:03


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