圧縮コイルバネの計算式と時間軸について

　式を望まれているので、計算してみました。なかなか面白い結果になりました。

　８０％に圧縮したバネを開放すると、バネ先端はいきなり等速運動を始め、１２０％まで伸びた後、速度が反転して等速で８０％まで縮むという、三角波を描きます。

　　バネ定数　　ｋ [N/m]
　　バネの質量　ｍ [kg]
　　バネの全長　Ｌ [m]
　　初期圧縮率　ａ (20%圧縮なら a=0.2)
の場合、
　　初期圧縮力　Ｆ＝ｋ×Ｌ×ａ [N]
であり、この圧縮力を除去すると、バネ先端は、
　　ｖ＝Ｌ×ａ×√（ｋ／ｍ） [m/s]
の等速運動を始めます。
時刻
　　ｔ0＝√（ｍ／ｋ） [s]
には、先端は自由長に達し、時刻２×ｔ0には、
　　長さ Ｌ×（１＋ａ）
に達し、そこで速度が反転し、同じ速度で収縮を始めます。

　物体が静止状態からいきなり等速運動をするなんて、加速度が無限大じゃないか。といわれそうですが、実際そのとおりで、圧縮力を開放すると、バネの先端から伸張を始めますが、先端部分を微視的に見ていくと質量ゼロに近づくので、その加速度が無限大になります。

　バネ全体はどのような挙動をするかというと、圧縮率ａのバネが開放されたとき、バネのごく先端の微小部分から伸び始め、その部分の圧縮率が０になったとき速度ｖを得ます。普通のバネ系であればここで振動を始める訳ですが、この場合はこの微小部分のとなりも左右の圧縮率の差によって運動を始め、先端部分に付いて来るような動きをするので、結果的に圧縮率０になった部分が塊として速度ｖで動きます。そして圧縮率０と圧縮率ａの境界線が先端から固定端へと動いて行きます。
　時刻ｔ0で境界線は固定端に達し、全体の長さはＬになりますが、このときバネ全体が速度ｖで動いているので、今度は固定端から伸張を始め、伸張率ａと伸張率０の境界線が先端に向かって動いて行きます。
　時刻２×ｔ0には境界線が先端に達し、先端部分は伸張率ａに伸びて速度ｖが０になり、次の瞬間に伸張率０に戻って速度－ｖになり縮み始めます。以下同様にして、直線運動が続きます。
　
　バネを中実剛体の棒とみなしてプログラムを作りシミュレーションしたところ、最初はきれいな三角波ですが、演算誤差によるものか、徐々に圧縮密度の境界線が崩れてきて、それに伴い先端の波形も丸くなり、歪んだ正弦波みたいになりました。実際のコイルバネでは、圧縮エネルギーの一部がねじり運動に変換されたり、鋼線内の音速が上記粗密の境界を乱すことが予想され、結果的に似たようなことになりそうです。

　三角波の周期は、４×ｔ0＝４√（ｍ／ｋ）ですが、＃３のkazu_iさんの回答中にある、
　「バネ定数とコイル自重の1/3が先端に付加したモデル」
を計算してみると、
　Ｔ＝２π√（ｍ／３ｋ）＝３．６３√（ｍ／ｋ）
であり、比較的近い結果になりました。（内心ほっとしました）

お礼

2003/06/08 18:57

ご回答を戴きありがとうございます。
今、拝見したばかりでまだ理解していませんが、『物体が静止状態からいきなり等速運動』はわかるような気がします。
この式で私なりに解析してみたいと思います。うまくいけば新しい商品のバックボーンとなり得ると思っています。

私の為に長時間、費やされたことに感謝いたします。
ありがとうございました。またこの件に関して何か気づかれたことがありましたら投稿をお願い致します。
後一週間くらい開いておきたいと考えています。
よろしくお願い致します。

質問者